方向导数 定义 如果函数的增量，与这两点距离的比例存在，则称此为在P点沿着L的方向导数。
∂f∂l=limρ→0f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)ρ\dfrac{\partial f}{\partial l}=\lim\limits_{\rho\to0}\dfrac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho} ∂l∂f=ρ→0limρf(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点p(x,y)p(x,y)p(x,y)是可微分的，那么在该点沿任意方向L的方向导数都存在。
∂f∂l=∂f∂xcosφ+∂f∂ysinφ\dfrac{\partial f}{\partial l}=\dfrac{\partial f}{\partial x}{cos}\varphi+\dfrac{\partial f}{\partial y}\sin\varphi ∂l∂f=∂x∂fcosφ+∂y∂fsinφ
🌰举个栗子 求：函数z=xe2yz=xe^{2y}z=xe2y在点P(1,0)P(1,0)P(1,0)处沿从点P(1,0)P(1,0)P(1,0)到点Q(2,−1)Q(2,-1)Q(2,−1)的方向的方向导数。
解：
由题可知，方向l⃗=PQ⃗={1,−1}\vec l=\vec {PQ}=\{1,-1\}l⃗=PQ⃗={1,−1}，则x轴到方向l⃗\vec ll⃗的转角∂=−π4\partial = - \dfrac{\pi}{4}∂=−4π
∵ 分别对x、y进行偏导数求解：
fx(x,y)=∂z∂x∣(1,0)=e2y∣(1,0)=1f_x(x,y)=\dfrac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,0)}=e^{2y}\bigg|_{(1,0)}=1fx(x,y)=∂x∂z∣∣∣∣(1,0)=e2y∣∣∣∣(1,0)=1;
fy(x,y)=∂z∂y∣(1,0)=2xe2y∣(1,0)=2f_y(x,y)=\dfrac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,0)}=2xe^{2y}\bigg|_{(1,0)}=2fy(x,y)=∂y∂z∣∣∣∣(1,0)=2xe2y∣∣∣∣(1,0)=2
∴ 将偏导结果和角度带入方向导数公式可得：∂z∂l=cos(−π4)+2sin(−π4)=−22\dfrac{\partial z}{\partial l}=\cos(-\dfrac{\pi}{4})+2\sin(-\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}∂l∂z=cos(−4π)+2sin(−4π)=−2√2